📐 Math Skill: 面向 AI 与密码学创新的数学研究操作系统

如果这个项目对你有所启发，请不吝点亮一颗 Star⭐。 每一个 Star 都是对数学之美的共鸣，也是支撑这个项目继续前行的力量。欢迎每一位热爱数学、在数学海洋中遨游的同行者。

📢 社区公告

本 Skill 正在快速迭代中，欢迎各位使用者提出宝贵的使用感受和改进建议！ 你的反馈是我们持续进化的核心动力。欢迎通过 GitHub Issues 或 Discussions 与我们交流。

v3.2.0 已上线：密码学方向正式接入——3 本现代密码学经典（Boneh-Shoup / Goldreich / Katz-Lindell）精简蒸馏稿 + Domain Router 路由层，AI 与密码学共享数学根基、独有专业层，互不污染。详见变更日志。

灵感来源

Sophus Lie 打造"屠龙刀"的故事告诉我们：为解微分方程发明的李群-李代数，最终成为描述对称性、机器人状态估计的通用语言——数学工具的价值远超初衷，这正是「跨领域激活」的原型。详见 references/inspiration.md。

数学最迷人的地方：为特定问题发明的工具，在完全不同的领域展现出远超初衷的价值。

Math Skill 不存储数学，它激活数学、路由数学，并把数学翻译成 AI 研究设计。

核心理念

当你面对一个 AI 研究问题时，这个系统帮你回答四个问题：

1. 该用什么数学思想看？ → 思想透镜
2. 应该激活哪些数学结构？ → 激活锚点 / 临时知识卡
3. 怎么把数学变成模型设计？ → 设计翻译原型
4. 这个设计是否数学上靠谱、工程上可行？ → 批判器

问题
 ↓
思想透镜：这个问题该用什么视角看？
 ↓
激活锚点：应该激活哪些数学结构？不足时进入知识缺口协议
 ↓
设计翻译：这些工具怎么变成模型结构 / loss / 算子？
 ↓
批判器：数学上站得住、工程上跑得动吗？

三层正交架构

| 层 | 职责 | 目录 | 文件数 | |----|------|------|--------| | 思想透镜 | 诊断问题结构，推荐数学视角 | lenses/*.md | 15 | | 激活锚点 | 激活高频数学结构，不足时触发知识缺口协议 | knowledge-base/*/*.md | 31 | | 设计翻译 | 把数学变成 AI 模块/loss/算子 | design-patterns/*/*.md | 22 |

辅助层：

• references/books/*.md：10 本书蒸馏稿（7 本 AI 方向 + 3 本密码学方向），需要深入时的完整上下文
• references/gpu-friendly-math.md：GPU 八维验收门
• agents/math-critic.md：数学-工程双重批判器（19 维，含密码学安全审视）

Domain Router（v3.2.0 新增）

AI 研究与密码学共享数学根基（概率/信息/代数/矩阵/谱/优化），但独有各自专业层。Domain Router 在意图诊断后、调用透镜前，先判定问题归属，决定加载哪些锚点/书稿/设计模式，避免跨域污染与 token 浪费。

| Domain | 加载内容 | 信号词 | |--------|---------|--------| | AI 研究 | knowledge-base/（7 领域 31 锚点）+ design-patterns/（5 类 22 模式）+ AI 方向 7 本书 | attention/loss/routing/representation/compression/MoE/transformer/KV-cache/LoRA/SSM/扩散/RL | | 密码学 | 3 本密码学书稿 + 共用数学锚点（按需） | 加密/签名/MAC/PRF/PRG/PRP/OWF/CCA/CPA/AE/零知识/归约/DL/CDH/DDH/RSA/ECC/格密码 | | 纯数学 | lenses/ + knowledge-base/ 对应锚点 | 概率/信息/熵/群/环/域/矩阵/谱/优化/凸性/扰动/复杂度 | | AI×密码交叉 | 双 domain 加载 + 交叉点标注 | "PRF 做模型水印""对抗样本归约""可验证推理" |

规则：domain 判定先于透镜调用；共用数学不重复加载；不跨域时不污染；缺口协议临时卡标注 domain。

15 个思想透镜

| 透镜 | 文件 | 核心视角 | |------|------|---------| | 公理化 | lenses/axiomatization.md | 审查假设的相容性/独立性/完备性 | | 对偶 | lenses/duality.md | 转换到对偶空间暴露约束与不变量 | | 对称性 | lenses/symmetry.md | 变换下的不变量与守恒律 | | 谱分解 | lenses/spectral.md | 特征值/奇异值揭示主导结构 | | 几何 | lenses/geometric.md | 度量/曲率/流形上的空间结构 | | 投影与分解 | lenses/projection.md | 正交分解、子空间分离、冲突消除 | | 变分 | lenses/variational.md | 约束下极值、能量最小化 | | 局部到整体 | lenses/local-to-global.md | 局部性质拼接为全局、层上同调障碍 | | 拓扑 | lenses/topological.md | 连续变形不变量、连通性、空洞 | | 范畴化 | lenses/categorical.md | 泛性质、函子、自然变换 | | 扰动 | lenses/perturbation.md | 小扰动的传播、稳定性、鲁棒性 | | 因果 | lenses/causal.md | 相关≠因果、干预、反事实 | | 博弈 | lenses/game.md | 多方策略互动、均衡、机制设计 | | 概率统计 | lenses/probabilistic.md | 量化不确定性、贝叶斯更新 | | 算法 | lenses/algorithmic.md | 复杂度、可行性、并行性 |

激活锚点（按数学领域）

| 领域 | 锚点 | |------|---------| | 矩阵分析 | projection, spectral-decomposition, low-rank-approximation, positive-semidefinite, matrix-perturbation | | 最优化 | lagrangian-duality, convex-optimization, constrained-optimization, riemannian-optimization, proximal-method | | 微分几何 | manifold, tangent-space, metric-tensor, geodesic, curvature, connection | | 李理论 | group-action, lie-group, lie-algebra, representation, equivariance | | 拓扑 | persistent-homology, euler-characteristic, fundamental-group | | 概率与信息 | concentration-inequality, entropy, kl-divergence, information-bottleneck, fisher-information | | 信息几何 | natural-gradient, fisher-metric |

设计模式库（按 AI 组件）

| 组件 | 设计模式 | |------|---------| | 注意力 | projection-attention, spectral-attention, equivariant-attention, geometry-aware-attention, information-bottleneck-attention | | 损失函数 | orthogonality-loss, contrastive-loss, variational-loss, information-bottleneck-loss, constraint-penalty | | 路由 | optimal-transport-routing, graph-routing, moe-routing, spectral-clustering-routing | | 表示 | shared-private-decomposition, manifold-representation, equivariant-split, subspace-alignment | | 压缩 | low-rank-kv-cache, spectral-token-pruning, topology-preserving-compression, leverage-score-selection |

快速开始

安装

请帮我安装 math-skill：https://github.com/the-thinker0/math-skill，并教我如何使用

手动安装：

git clone https://github.com/the-thinker0/math-skill.git

使用

自动触发：系统自动诊断用户意图，路由到合适的层：

| 场景 | 诊断信号 | 调用路径 | |------|---------|---------| | 问题分析 | "这个设计合理吗？" | 透镜 → critic | | 机制设计 | "设计新 attention" | 透镜 → 激活锚点/临时知识卡 → 设计翻译 → critic | | 知识查询 | "切空间和梯度优化有什么关系？" | 激活锚点；不足则 Knowledge Gap Protocol | | 验证审查 | "这个公式成立吗？" | 激活锚点/临时知识卡 → critic | | 纯工程 | debug、重构、调参 | 不调用 |

手动触发：

/ask <你的问题>          # 智能诊断：自动判断场景并路由

语言切换

自动检测用户语言：中文消息返回中文输出，英文消息返回英文输出。

工作流范例

用户："设计新的 KV Cache 压缩方法，保留长期依赖，不想只做 top-k"

第一步 诊断：场景 B（机制设计）
  问题类型：序列记忆压缩 + 信息保留 + 长程结构
  核心张力：压缩 token 数量 vs 不破坏长期依赖

第二步 透镜选择：
  1. 谱分解（保留主导子空间）
  2. 信息论（保留最大互信息状态）
  3. 拓扑（保留序列结构关键连接点）

第三步 激活锚点：
  → low-rank-approximation（矩阵分析锚点）
  → leverage-score-selection（压缩设计模式）
  → information-bottleneck（概率与信息锚点）
  若现有锚点不足，进入 Knowledge Gap Protocol 生成临时知识卡。

第四步 设计翻译：
  候选 A：Spectral KV Compression（低秩 + leverage score）
  候选 B：Information-Preserving Cache（query sensitivity）
  候选 C：Topology-Preserving Cache（图桥接节点保留）

第五步 Critic 审查：
  A 最 GPU 友好，B 需估计未来 query 有不确定性，C 图构建成本过高
  建议：优先 A，B 作轻量 gate

目录结构

math-skill/
├── skills/
│   └── math-research-activator/    # 总控：意图诊断 + 路由
├── lenses/                         # 15 个思想透镜（推理方法论）
├── knowledge-base/                 # 激活锚点（按数学领域组织，非封闭百科）
│   ├── matrix-analysis/            # 矩阵分析（5 卡片）
│   ├── optimization/               # 最优化（5 卡片）
│   ├── differential-geometry/      # 微分几何（6 卡片）
│   ├── lie-theory/                 # 李理论（5 卡片）
│   ├── topology/                   # 拓扑（3 卡片）
│   ├── probability/                # 概率与信息（5 卡片）
│   └── information-geometry/       # 信息几何（2 卡片）
├── design-patterns/                # 设计翻译层（按 AI 组件组织）
│   ├── attention/                  # 注意力机制（5 模式）
│   ├── loss/                       # 损失函数（5 模式）
│   ├── routing/                    # 路由（4 模式）
│   ├── representation/             # 表示（4 模式）
│   └── compression/                # 压缩（4 模式）
├── references/                     # 参考层
│   ├── books/                      # 10 本书蒸馏稿（7 AI + 3 密码学）
│   ├── gpu-friendly-math.md        # GPU 八维验收门
│   ├── agentic-workflow.md         # 协作方式
│   └── inspiration.md              # 灵感来源
├── agents/math-critic.md           # 数学-工程双重批判器（19 维，含密码学安全审视）
├── commands/ask.md                 # /ask 手动入口
├── math_book/                      # 本地 PDF（不发布）
└── README.md / LICENSE

推荐书目

AI 方向（7 本）

| # | 书名 | 作者 | 出版社 / 版次 | 年份 | ISBN | 蒸馏文件 | |---|------|------|-------------|------|------|---------| | 1 | Contemporary Abstract Algebra | Joseph A. Gallian | Brooks/Cole, Cengage, 8th ed. | 2013 | 978-1-133-59971-5 | abstract-algebra.md | | 2 | The Rising Sea: Foundations of Algebraic Geometry | Ravi Vakil | Princeton University Press | 2025 | 978-0-691-26866-8 | algebraic-geometry-rising-sea.md | | 3 | Manifolds and Differential Geometry | Jeffrey M. Lee | AMS, Graduate Studies in Math Vol. 107 | 2009 | 978-0-8218-4815-9 | differential-geometry.md | | 4 | Matrix Analysis | Roger A. Horn, Charles R. Johnson | Cambridge University Press, 2nd ed. | 2013 | 978-0-521-83940-2 | matrix-analysis.md | | 5 | A micro Lie theory for state estimation in robotics | Joan Solà et al. | arXiv:1812.01537v9 | 2021 | — | micro-lie-theory.md | | 6 | An Introduction to Optimization, With Applications to ML | Chong, Lu, Żak | John Wiley & Sons, 5th ed. | 2024 | 978-1-119-87763-9 | optimization-ml.md | | 7 | Introduction to Smooth Manifolds | John M. Lee | Springer, GTM 218, 2nd ed. | 2013 | 978-1-4419-9981-8 | smooth-manifolds.md |

密码学方向（3 本，v3.2.0 新增）

| # | 书名 | 作者 | 出版社 / 版次 | 年份 | ISBN | 蒸馏文件 | |---|------|------|-------------|------|------|---------| | 8 | A Graduate Course in Applied Cryptography | Dan Boneh & Victor Shoup | v0.4 在线版 | 2017 | — | applied-cryptography.md | | 9 | Foundations of Cryptography, Volume 1: Basic Tools | Oded Goldreich | Cambridge University Press | 2001 | 978-0-521-79235-9 | foundations-of-cryptography.md | | 10 | Introduction to Modern Cryptography | Jonathan Katz & Yehuda Lindell | CRC Press, 2nd ed. | 2015 | 978-1-4665-7026-1 | introduction-to-modern-cryptography.md |

密码学书稿正文为英文，沿用 .md 后缀（不分中英）；Domain Router 判定为密码学或 AI×密码交叉时加载。

蒸馏文件已随 npm 包发布。如需全保真原文，将 PDF 放入 math_book/ 文件夹即可。

变更日志

v3.2.0 — 密码学方向接入 + Domain Router

密码学方向正式落地：参考层从 7 本扩到 10 本，新增 3 本现代密码学经典蒸馏稿，精简为与 AI 方向书稿一致的激活索引格式（约 125-155 行/本，保留核心思想与关键桥接事实）。

• 新增 3 本密码学书稿：
  • references/books/applied-cryptography.md（Boneh & Shoup）：攻击游戏/归约证明/构造/协议
  • references/books/foundations-of-cryptography.md（Goldreich）：计算不可区分/OWF-PRG-PRF 等价链/模拟范式/元定理
  • references/books/introduction-to-modern-cryptography.md（Katz & Lindell）：形式化定义/CPA-CCA-AE/构造范式/实现陷阱
• Domain Router 路由层（核心创新）：在意图诊断后、透镜调用前判定问题 domain（AI/密码/纯数学/交叉），按 domain 加载专属内容，共用数学不重复加载，避免跨域污染与 token 浪费
• SKILL.md / SKILL.en.md：新增 Domain Router 小节 + 路由规则 + 判定流程图；主流程整合 domain 标注与 domain-specific 路由（AI 走 design-patterns + GPU 门，密码走归约模板 + 假设/陷阱检查）
• math-critic 升级为 19 维：新增第 19 维「密码学安全审视」（安全定义/归约紧度/假设依赖/合成陷阱/反模式/跨域迁移合理性/Domain Router 一致性）
• skill-index / overview：补 Domain Router 总览表与密码学书稿激活家族标注；overview 增 Domain Router 加载提示
• Token 优化：密码学书稿从 2084 行精简到 404 行（压缩 ~80%）；Domain Router 按 domain 裁剪输出，避免全量加载；输出格式强调"domain 判定后只展开该 domain 专属小节"。量化估算：纯 AI 问题完全不加载 3 本密码学书稿（省约 400 行/次），纯密码学问题完全不加载 22 个 AI design-patterns（省约 2200-3300 行/次）；密码学书稿本身的精简再省约 872 行/次
• 文件清理：删除朋友误放在根目录的重复 SKILL.md/SKILL.en.md/original-texts.md/original-texts.en.md（权威版本在 skills/math-research-activator/）；修正 agents/math-critic.{en,}.md 与 knowledge-base/overview.en.md 中的 SKILL 相对路径
• AI 与密码学隔离保证：Domain Router 规则 4 明确"纯 AI 问题不加载密码学书稿；纯密码学问题不加载 AI 设计模式"，从加载层防止概念混淆

v3.1.1 — 术语闭环清洁

• skill-index 口径统一：标题、知识库小节、工作流范例从"知识库/知识查询"改为"激活锚点"
• package.json description：更新为新定位描述
• README 使用表：机制设计、知识查询、验证审查路径从"知识"改为"激活锚点/临时知识卡"
• README 工作流范例：第三步从"知识查询"改为"激活锚点"，leverage-score-selection 标签从"矩阵分析"改为"压缩设计模式"
• README 目录结构：knowledge-base/ 注释从"数学知识库"改为"激活锚点"
• README 激活锚点表头：列名从"知识卡片"改为"锚点"
• SKILL.md / SKILL.en.md：三层架构表和意图诊断表从"数学知识/Math Knowledge"改为"激活锚点/Activation Anchors"
• 英文 README 书目链接：蒸馏文件从 .md 改为 .en.md
• validate 关键词：从检查"数学知识/Math Knowledge"改为"激活锚点/Activation Anchors"

v3.1.0 — 激活锚点与知识缺口协议

定位升级：从"数学知识库"转为"数学激活系统"——知识库不是封闭百科，而是激活锚点集合。

• 核心原则：Math Skill 不存储数学，它激活数学、路由数学，并把数学翻译成 AI 研究设计
• 知识缺口协议：当现有锚点不覆盖时，6 步流程生成临时知识卡（缺口识别→透镜回退→候选定位→临时知识卡→设计翻译→升级建议）
• 领域扩展索引：7 个数学领域各增 index.md，列出触发信号、扩展概念、参考书方向、临时激活规则
• 知识卡片重定位：每张卡片增加"路由扩展"和"可扩展方向"，从终点变为路由节点
• 设计模式定位：新增 design-patterns/overview.md，声明为 math→AI 翻译原型集合

v3.0.1 — Token 优化与双语补全

• Emoji 清理：移除所有 skill 文件中的 emoji 符号，GPU 评级标记替换为文本 [v]/[~]/[x]，节约 ~1,400 tokens
• 英文蒸馏稿补全：7 本书蒸馏稿新增英文翻译（references/books/*.en.md），commands/ask.en.md 新增英文入口
• 混合语言路由：新增 5 条判定规则，解决中英混杂输入的路由问题（技术词不计入语言判定，按句式主框架判定）
• GPU 维度缩写：八维标签从 **维度 N 全称** 压缩为 **DN**（D1-D8），定义于 gpu-friendly-math.md，额外节约 ~800-1,000 tokens
• 术语统一、交叉引用修正及其他小问题修复

v3.0.0 — 数学研究操作系统

架构重构：从"思想武器库"升级为"数学参谋部"——三层正交架构：

• 思想透镜（15 个）：从 v2 的"思想武器"瘦身而来，只保留推理方法论，不再混入具体数学知识
• 知识库（31 张卡片）：按数学领域组织的具体工具卡片，含定义/公式/AI 设计翻译/GPU 可行性
• 设计翻译层（新增）：数学→AI 模块的桥梁，按 AI 组件（attention/loss/routing/representation/compression）组织
• Activator 重写：从环境信号匹配改为意图诊断（5 场景：分析/设计/查询/验证/工程）
• 知识激活协议：知识卡片固定输出格式（最小定义→公式→适用问题→AI 翻译→工程可行性→风险）

v2.1.0 — 完整双语支持

• 全面双语（37 个 .en.md 文件）、自动语言路由、命令一致、token 保障

v2.0.1

• 收紧自动触发条件、新增排除门、环境信号收窄

v2.0.0

• 16 思想武器、现代数学激活层、GPU 八维横切

v1.0.0

• 初始发布：十五思想武器 + 科研与生活双路径

许可证

MIT License. 详见 LICENSE。

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